소거법(elimination method)의 이해 - 선형대수 1강 :: Data 쿡북

| 들어가며

선형대수를 이해하는데 가장 기본이 되는 소거법에 대해 알아보고 광합성에 대한 식에 소거법을 적용해 풀어보자

앞으로 선형대수에 대한 이론과 실습을 설명할텐데 선형대수는 기호를 활용하는 예가 많기 때문에 차근차근 이해하는 것이 필요하다.

| 방정식의 3가지 기본연산으로 소거법 쓰기

소걱법이란? 

주어진 연립방정식을 동일한 해 집합을 가지면서 

보다 풀기 쉬운 형태의 연립방정식으로 변환하는 방법이다.

소거법을 쓰기전 방정식의 기본 3연산은 다음과 같다.

다음의 연산을 한다고 해도 방정식의 결과는 달라지지 않는 다는 것을 말한다.

1) 두 방정식을 교환한다.

2) 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.

3) 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

이를 기본으로 다음을 소거법으로 풀어보자

1법칙으로 : 두 방정식을 교환한다.

3법칙으로 : 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

즉 여기서는 5x를 소거할 것이기 때문에 첫번째 방정식에 -5를 곱하고 이 값을 두번째 방정식에 더해준다. 

             

              

결과적으로 y=-1, x=1 을 얻을 수 있따.

| 응용, 광합성 작용에 대한 식에 소거법 적용

광합성 작용은 물과 공기중의 이산화 탄소가 서로 반응하여 포도당과 산소를 생성한다.

그 공식을 보면 다음과 같다.

이 공식을 만족시킬 수 있는 k,l,m.n을 구하는 것이 목표다.

공식에서 전제는 반응 전후의 원자 수는 동일하기 때문에 다음의 식을 도출할 수 있다.

탄소원자 C : k = 6m

산소원자 O : 2k + l = 6m + 2n

수소원자 H : 2l = 12m 

이를 방정식에 적용하면 다음과 같다.

이 식에 소거법을 적용하여 줄여보면

해를 구하기 위해서는 방정식도 해 개수반큼 되어야 하나 식이 3개뿐이기 때문에 위 식까지만 줄여진다.

따라서 n=6t  (t는 자연수) 를 정의하고 대입을 하면

m = t, 

l = 6t, 

k = 6t

를 얻을 수 있다.  

즉 해 집합은 

로써 무한집합이다. 

t를 가령 1이라 할때 공식의 결론은 다음과 같다.

이산화 탄소 6개와 물 6개가 만나 포도당 분자 1개와 산소 6개가 생성된다는 뜻이다.

| 참고자료

방송통신대학교 선형대수 1강 강의자료

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